Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{z}{z^{2} - 4} - \frac{4 z - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{z}{z^{2} - 2^{2}} - \frac{4 z - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

Schritt 1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = z$ und $b = 2$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 z - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 z - 4$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 z$ heraus.

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z) - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z) + 4 (- 1)}{z^{2} + 6 z + 8}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (z) + 4 (- 1)$ heraus.

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z - 1)}{z^{2} + 6 z + 8}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $z^{2} + 6 z + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $6$ ist.

$2, 4$

Schritt 1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$

Schritt 2

Um $\frac{z}{(z + 2) (z - 2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{z + 4}{z + 4}$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} \cdot \frac{z + 4}{z + 4} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$

Schritt 3

Um $- \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{z - 2}{z - 2}$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} \cdot \frac{z + 4}{z + 4} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)} \cdot \frac{z - 2}{z - 2}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(z + 2) (z - 2) (z + 4)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{z}{(z + 2) (z - 2)}$ mit $\frac{z + 4}{z + 4}$ .

$\frac{z (z + 4)}{(z + 2) (z - 2) (z + 4)} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)} \cdot \frac{z - 2}{z - 2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$ mit $\frac{z - 2}{z - 2}$ .

$\frac{z (z + 4)}{(z + 2) (z - 2) (z + 4)} - \frac{4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(z + 2) (z - 2) (z + 4)$ um.

$\frac{z (z + 4)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)} - \frac{4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{z (z + 4) - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{z \cdot z + z \cdot 4 - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$\frac{z^{2} + z \cdot 4 - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Schritt 6.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $z$ .

$\frac{z^{2} + 4 \cdot z - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{z^{2} + 4 z + (- 4 z - 4 \cdot - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{z^{2} + 4 z + (- 4 z + 4) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Schritt 6.6

Multipliziere $(- 4 z + 4) (z - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z (z - 2) + 4 (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Schritt 6.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z \cdot z - 4 z \cdot - 2 + 4 (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Schritt 6.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z \cdot z - 4 z \cdot - 2 + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Schritt 6.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.7.1.1

Multipliziere $z$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.7.1.1.1

Bewege $z$ .

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 (z \cdot z) - 4 z \cdot - 2 + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Schritt 6.7.1.1.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} - 4 z \cdot - 2 + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Schritt 6.7.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} + 8 z + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Schritt 6.7.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} + 8 z + 4 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Schritt 6.7.2

Addiere $8 z$ und $4 z$ .

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} + 12 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Schritt 6.8

Subtrahiere $4 z^{2}$ von $z^{2}$ .

$\frac{- 3 z^{2} + 4 z + 12 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Schritt 6.9

Addiere $4 z$ und $12 z$ .

$\frac{- 3 z^{2} + 16 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Schritt 7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 z^{2}$ heraus.

$\frac{- (3 z^{2}) + 16 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $16 z$ heraus.

$\frac{- (3 z^{2}) - (- 16 z) - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 z^{2}) - (- 16 z)$ heraus.

$\frac{- (3 z^{2} - 16 z) - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Schritt 7.4

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$\frac{- (3 z^{2} - 16 z) - 1 (8)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Schritt 7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 z^{2} - 16 z) - 1 (8)$ heraus.

$\frac{- (3 z^{2} - 16 z + 8)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Schritt 7.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.6.1

Schreibe $- (3 z^{2} - 16 z + 8)$ als $- 1 (3 z^{2} - 16 z + 8)$ um.

$\frac{- 1 (3 z^{2} - 16 z + 8)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Schritt 7.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 z^{2} - 16 z + 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$